Serie binomial

La serie binomial^[1]​ es la serie de Taylor para una función ${\displaystyle f}$ dada por ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$, donde ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ es un número complejo arbitrario. Explícitamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}$

y la serie binomial es la serie de potencias en el lado derecho de (1), expresada en términos de coeficientes binomiales (generalizados)

${\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

1. ↑ Michael Z. Spivey (2019). The Art of Proving Binomial Identities. CRC Press. pp. 18 de 368. ISBN 9781351215817. Consultado el 27 de enero de 2021.